На наш взгляд, изучение элементов теории вероятностей и статистики в школе должно начинаться с изучения статистики. На простом, наглядном, порой иллюстративном, но важном материале вводится одна из главных идей теории вероятности и статистики – идея случайной изменчивости. Для показа и разъяснения случайной изменчивости мы привлекаем самые различные источники от государственной статистики до примеров из повседневной жизни учащихся, биометрические данные человека, школьные оценки, показатели физического развития и т.п.
Одновременно с идеей случайной изменчивости вводятся простейшие числовые показатели, описывающие в целом эту изменчивость: среднее арифметическое, медиана, отклонения от среднего, дисперсия. На наш взгляд при изложении этого материала в седьмом классе следует избегать высокой степени формализма, не использовать переменные, тем более с индексами, формальные определения и доказательства.
В то же время важно показать, как может вести себя среднее арифметическое для различных наборов чисел, пояснить, когда оно дает хорошее представление о массиве наблюдений, а когда нет.
Знакомство с элементами теории вероятностей мы начинаем с изложения на интуитивном уровне понятий случайного события и его вероятности. На этом этапе мы не делаем упора на комбинаторику, как это часто делается в схеме «классической теории вероятностей». Последнее, на наш взгляд, является ненужной данью истории, резко сужает круг задач и вопросов, доступных для рассмотрения, отрывает базовые понятия теории вероятностей от их действительного использования на практике. Учащиеся должны знать и понимать, что основным способом определения вероятности события в содержательных примерах на практике является частотный подход, но что порой определение вероятности события – это довольно сложная или даже неразрешимая задача.
Переходя к математическому описанию случайных явлений, мы обращаем особое внимание на понятие случайного опыта и на его важности для всей последующей математической формализации случайности. Ровно так, как условие текстовой математической задачи (например, на движение) задает для учащегося тот набор условий и ограничений, в которых он будет искать решение, так и описание случайного опыта подводит нас к выбору подходящего набора (пространства) элементарных событий и заданию на нем вероятностей выбранных элементарных событий. Эта мысль важна еще и потому, что во многих внешне простых формулировках занимательных вероятностных задач четко не говорится о том, что в них следует понимать под случайным опытом. Это не раз в истории развития теории вероятностей приводило к длительным спорам и математическим парадоксам. Такого рода задачи, как показывает практика обучения, отвлекают и путают учащихся, порождают в них неуверенность в собственных силах и сомнения в применимости вероятностных моделей вообще. О некоторых из таких типичных задач и ситуаций мы будем говорить более подробно ниже, разбирая соответствующую тему. На наш взгляд, на этапе первичного знакомства с основными вероятностными понятиями следует всячески избегать нечетких формулировок в вероятностных задачах, следя за тем, чтобы бы условия случайного опыта формулировались ясно и недвусмысленно.
Только что обсуждалась и обосновывалась необходимость избегать неточных формулировок в вероятностных задачах. Мы прямо утверждали, что при формулировке вероятностных задач нужно как можно точнее описывать условия случайного опыта.
А кто научит школьников самим продумывать условия случайного опыта и учитывать возможные обстоятельства, влияющие на описание его результатов? Как раз для этого упражнения и вопросы с неточной формулировкой необходимы. Это – не вероятностные задачи. Это специальные упражнения, которые предназначены для развития критического или деструктивного мышления. Критическое мышление – особый вид мышления. Обладатель развитого критического мышления лучше формулирует свои мысли, умеет выделить существенные детали в ситуации. Бизнесмену критическое мышление необходимо, чтобы видеть изъяны и узкие места в бизнес-планах. Деструктивное мышление позволяет лучше видеть пустые обещания в предвыборной речи политика, определить заведомо непригодные пути при решении задачи. Серьезный анализ любой задачи требует критического взгляда.
Чтобы дать толчок развитию способностей к критическому анализу у школьников, авторы пособия «Теория вероятностей и статистика» включили в свой текст множество вопросов (не вероятностных задач!), которые обладают не слишком точной формулировкой. На первый взгляд размытость формулировки может быть даже незаметной.
Например, в задаче дано расписание поездов, приходящих на Московский вокзал в Санкт-Петербурге и спрашивается, какой поезд нужно выбрать, чтобы не опоздать в метро, которое закрывается в 0 ч.30 мин.
Казалось бы, простейшая задача на элементарное умение читать таблицу.
Однако если вдуматься в условие, можно заметить, что простота только кажущаяся. Ведь мы не абстрактную задачу про двух ненатуральных пешеходов решаем. Нам нужно на самом деле не опоздать на метро. Реализм задачи подчеркивается реализмом расписания и весьма жизненной ситуацией. Задача стоит всерьез. И решать ее надо всерьез. И тут возникает масса коварных вопросов и подвопросов:
- В каком вагоне едет пассажир? Ведь от последнего вагона до входа в метро идти намного дольше, чем от первого.
- Тяжелые ли вещи у пассажира?
- Как далеко от платформы вход в метро?
- Знаком ли пассажиру путь в метро?
- Куда ему ехать? Если, скажем, на станцию «Автово», достаточно просто успеть в последний поезд метро. А если в Купчино, то нужно успеть на пересадку. Следовательно, требуется еще больше времени в запас.
Школьники могут придумать еще множество отягощающих и облегчающих обстоятельств, которые нужно учесть при формализации условия «не опоздать в метро».
Вот еще примеры: следует ли учитывать возможное опоздание поезда? Какое опоздание считать возможным? А как изменится ситуация в Новый Год или в дни перехода на зимнее или летнее время? А какое время прибытия считать слишком ранним?
Бездумный механический выбор из таблицы поездов, прибывающих в Петербург вечером и ночью до 0 ч 30 мин, ничему не научит. Глубокое изучение и обсуждение настоящей, очень конкретной ситуации учит анализировать, выдвигать предположения о факторах влияния, опровергать их и т.п. Впоследствии эти умения позволят учителю и ученику осознанно подойти к недвусмысленному описанию условий случайного эксперимента при формулировке и решении вероятностных задач, о необходимости которого (описания) убедительно говорилось выше.
Разумеется, упражнения с нечеткой формулировкой не подразумевают однозначного ответа. Даже в сравнительно простом вопросе о поездах ответ зависит от массы обстоятельств, включая индивидуальные особенности пассажира.
Вот еще пример: какие обстоятельства влияют на расход топлива на 100 км пробега автомобиля?
- скорость;
- направление и сила ветра;
- нагрузка;
- сорт топлива;
- тип и состояние двигателя;
- стиль вождения;
- погода;
- цвет автомобиля;
- состояние дорожного покрытия;
- загруженность автодороги;
- число включенных электроприборов;
- аэродинамические свойства кузова машины;
- давление в шинах;
- день рождения водителя.
И так далее. Нужно понимать, что формально абсолютно все обстоятельства могут повлиять на расход топлива. Даже цвет автомобиля. Даже дни рождения водителя и его жены каким-то образом могут отразиться на экономичности езды. Можно попробовать отделить существенные влияния от несущественных. И несущественные влияния не учитывать. Критерий существенности прост: мы учитываем только те влияния, ущерб или выгоду от которых есть смысл рассматривать. Иначе вопрос о расходе топлива становится абсурдным. Такие задачи, кроме прочего, должны научить школьников отличать серьезные вопросы от курьезных.
Разумеется, следует предложить школьникам лишь схему рассуждений и поиска, а дальше они сами должны придумывать существенные и несущественные обстоятельства, объяснять или опровергать их существенность.
Вопросов с неточной формулировкой в пособии немало. Мы убедительно просим вас не избегать их, а, напротив, использовать для развития фантазии и воображения, остроумия ваших учеников, умения аргументировать и защищать свои аргументы.
Алексей Алексеевич живет на востоке большого города. В свой выходной день Алексей Алексеевич планирует поехать из дома на своей машине в мебельный магазин, расположенный на западе города и купить там диван. Магазин работает до 20.00. В котором часу Алексей Алексеевич должен выйти из дома, чтобы выполнить свой план?
Перечислим некоторые обстоятельства, которые нужно учесть Алексею Алексеевичу, чтобы определить самое позднее возможное время выезда из дома.
Примерный перечень:
- время, нужное, чтобы дойти от квартиры до машины: если машина в гараже, то может потребоваться немало времени;
- время года: зимой открывание гаража и прогрев машины могут занять 10-15 лишних минут;
- время проезда через город: в общевыходной день оно, вероятно, меньше, а если поездка приходится на будний день, то возможны серьезные пробки;
- возможность припарковаться около магазина;
- выбран ли диван, или еще только предстоит его выбрать;
- один едет Алексей Алексеевич или с женой, которая тоже будет принимать участие в выборе мебели;
- размер коллекции диванов в магазине;
- планирует ли Алексей Алексеевич забрать свой диван сразу, или ему нужно сделать заказ, который потребует дополнительного времени;
- заплатит ли Алексей Алексеевич за покупку сразу или будет оформлять кредит – тоже время.
А вот, например, скоростные данные машины на потраченное время почти не влияют: в городе все машины ездят примерно одинаково. Так же как может не оказывать существенного влияния расстояние от дома до магазина по прямой (географическое расстояние). Иногда быстрее доехать до противоположного конца города, чем до улицы в соседнем районе.
Упражнение. Придумайте две подобные задачи и очертите примерный круг уточнений и различных обстоятельств, которые нужно учесть, чтобы дать содержательный или приемлемый ответ. Задачи могут касаться потраченного или запасенного времени, денег, количества покупателей и т.п. При составлении задач используйте жизненный опыт и здравый смысл так, чтобы ход ваших рассуждений могли понять школьники.
В Москве проводится интенсивная подготовка учителей к преподаванию курса «Теория вероятностей и статистика». В Московском институте открытого образования открыты очные и дистанционные курсы. За три года существования очных курсов их окончило более 200 слушателей. Дистанционные курсы за два года окончило около 60 слушателей.
Помимо курсов МИОО, организуются курсы повышения квалификации в методических кабинетах и центрах окружных управлений образования Москвы. МИОО оказывает методическую поддержку этим курсам. За четыре года слушателями окружных курсов стало более 500 учителей.
В этом году в МИОО на кафедре математики создана специализированная методическая лаборатория по теории вероятностей и статистике. Ее задача – координировать работу всех курсов в этой области, разрабатывать методические и дидактические материалы для учащихся и учителей.
Дополнительно к курсам повышения квалификации предмет «Теория вероятностей и статистика» наряду с другими математическими дисциплинами введен в учебный план факультета переподготовки специалистов МИОО.
Начиная с 2009 года, МИОО планирует ввести в обучение учителей математики новое направление – «Статистика и информатика». Предметом изучения станет использование статистических пакетов и электронных таблиц, таких как Excel, в изучении статистики, вероятностном моделировании и статистических расчетах, доступных школьникам.
Страница курсов повышения квалификации размещена в Интернете: http://www.mccme.ru/courses.